Magnitudes físicas vectoriales.
Un vector es un segmento orientado que tiene su origen en el punto A y su extremo en el punto B.
Un vector x queda definido por su:
1. Módulo: es la longitud del segmento [AB].
2. Dirección: es la recta que pasa por A y B.
3. Sentido: es el recorrido de la recta cuando nos trasladamos de A a B. En cada dirección hay dos sentidos,
el que va desde A hasta B y el que va desde B hasta A.
4. Origen: punto de partida del vector, en este caso es A.
5. Extremo: punto final del vector, en este caso es B.
El vector unitario u es aquel vector elegido convencionalmente como unidad de medida y cuyo módulo vale la unidad. Mientras que el vector nulo es el que tiene de módulo cero. Otro vector característico es el vector negativo de un vector que es aquel que tiene el mismo módulo y dirección pero de sentido contrario.
Para representar un punto o un vector en el espacio utilizamos un sistema de tres ejes perpendiculares entre sí a los que llamaremos: eje X, eje Y y eje Z. Las coordenadas o componentes cartesianas de un punto, son las proyecciones del vector que une el origen de coordenadas con dicho punto sobre cada uno de los ejes X, Y, Z.
Si tenemos en cuenta que en cada uno de los tres ejes podemos situar un vector unitario con la misma dirección del eje y sentido positivo o negativo según el caso, obtenemos tres vectores unitarios perpendiculares entre sí de tal manera que:
• El vector i está situado sobre el eje X.
• El vector j está situado sobre el eje Y.
• El vector k está situado sobre el eje Z.
Operaciones elementales de vectores.
Suma y resta de vectores.
Para sumar dos vectores libres a y b, se toma como punto arbitrario O del plano y se trazan perpendiculares a los vectores, para terminar uniendo el punto O con la intersección de ambas perpendiculares. El vector suma es el representado por a + b.
Para restar dos vectores libres a y b, pues se realiza lo mismo que en la suma pero sabiendo que el segundo vector tiene sentido contrario, e igual módulo y dirección.
Algebraicamente a + b se determina de la siguiente manera:
a = x1 i + y1 j + z1 k
a + b = ( x1 + x2 ) i + ( y1 + y2 ) j + ( z1 + z2 ) k
b = x2 i + y2 j + z2 k
Producto de un escalar por un vector.
Dado un vector no nulo a y un número real no nulo k, se llama producto de un número real por un vector al vector que tiene por:
a) Módulo: ka.
b) Dirección: la del vector a.
c) Sentido: 2 opciones:
- El mismo que a si k es positivo.
- El opuesto que a si k es negativo.
Producto escalar de dos vectores.
El producto escalar de dos vectores es un escalar que resulta de multiplicar los módulos de los vectores por el coseno del ángulo que forman.
Si α= 0 º , cos α = 1 ( a · b = max )
a · b = ⏐a⏐· ⏐b⏐· cos α
Si α= 90º , cos α = 0 ( a · b = 0 )
El producto escalar tiene la propiedad conmutativa, es decir, da lo mismo a · b que b · a, ya que α y - α tienen iguales cosenos. Si tenemos dos vectores dados por su expresión algebraica, el producto escalar de a · b daría:
a = ax i + ay j + az k
a · b = ( ax · bx ) i + ( ay · by ) j + ( az · bz ) k
b = bx i + by j + bz k
Producto vectorial de dos vectores.
El producto vectorial de dos vectores es otro vector que se define por:
a) Módulo: a x b = ⏐a⏐· ⏐b⏐· sen α
b) Dirección: es perpendicular al plano que contiene a los vectores a y b por el punto O.
c) Sentido: para averiguar el sentido utilizamos la regla del tornillo:
1. Si el tornillo gira en el sentido de las agujas del reloj, el tornillo se estaría atornillando y por tanto, el sentido
del vector sería hacia abajo o negativo.
2. Si el tornillo gira en el sentido contrario de las agujas del reloj, el tornillo se estaría destornillando y por
tanto, el sentido del vector sería hacia arriba o positivo.
Para calcular el vector resultante del producto vectorial, hemos de resolver una matriz en la que:
a) En la 1ª línea se sitúan siempre los vectores unitarios i, j, k.
b) En la 2ª línea se sitúa las coordenadas del primer vector nombrado en el producto vectorial.
c) En la 3ª línea situamos las coordenadas del segundo vector nombrado en el producto vectorial.
i j k
a x b = ax ay az
bx by bz
a x b = ( ay · bz – az · by ) i + ( az · bx – ax · bz ) j + ( ax · by – ay · bx ) k
El producto vectorial de dos vectores no posee la propiedad conmutativa.
Momento de un vector respecto a un punto.
El momento de un vector a respecto a un punto O es el producto vectorial del vector distancia ra ( desde O hasta el origen del vector a ) por el vector a.
Mo = ra x a
Este vector se define por:
a) Módulo: ra · a · sen α
b) Dirección: es perpendicular al plano por el punto O.
c) Sentido: hacia arriba.
El modulo de un vector.
El módulo de un vector es la raíz cuadrada positiva de la suma de los
cuadrados de sus componentes.
⏐a⏐= ax2 + ay2 + az
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